5.2.2 Cancelación de los polos con G con ceros H

Para un sistema complejo en lazo abierto con muchos polos y ceros, puede parecer com-plicado construir una gráfica del lugar geométrico de las raíces, aunque en realidad no es difícil si se aplican las reglas para construir dicho lugar geométrico. Ubicando los puntos y las asíntotas específicos y calculando los ángulos de salida de los polos complejos y los ángulos de llegada a los ceros complejos, podemos construir la forma general de los lugares geométricos de las raíces sin dificultad.

Reglas  generales  para  construir  los  lugares  geométricos  de  las  raíces. Ahora resumiremos  las  reglas  y  el  procedimiento  general  para  construir  los  lugares  geométricos de  las  raíces  del  sistema  de  la  figura

Primero,  obtenga  la  ecuación  característica 1  + G(s)H(s)   =  0

A  continuación,  vuelva  a  ordenar  esta  ecuación  para  que  el  parámetro  de  interés  aparezca como  el  factor  multiplicativo,  en  la  forma

En  estos  análisis,  suponemos  que  el  parámetro  de  interés  es  la  ganancia K, en  donde  K >  0.

(Si K < 0,  lo  cual  corresponde  al  caso  de  realimentación  positiva,  debe  modificarse  la  condición  de   angulo).  Sin  embargo,  observe  que  el  método  todavía  es  aplicable  a  sistemas  con  parámetros  de  interés  diferentes  a  la  ganancia.

1. Ubique  los  polos  y  ceros  de  G(s)H(s)  en el plano s.  Las  ramificaciones  del  lugar  geométrico

de  las  raíces  empiezan  en  los  polos  en  lazo abierto y  terminan  en  los  ceros  (ceros  finitos  o  ceros

en  infmito). A  partir  de  la  forma  factorizada  de  la  función  de  transferencia  en  lazo  abierto,  ubique

los  polos  y  los  ceros  en  lazo  abierto  en  el  plano  s.  [Observe  que  los  ceros  en  lazo  abierto  son  los de G(s)H(s), en  tanto  que  los  ceros  en  lazo  cerrado  son  los  de  G(s)  y  los  polos  de  H(s)].

2. Determine  los  lugares  geométricos  de  las  raíces  sobre  el  eje  real. Los lugares  geométricos de  las  raíces  sobre  el  eje  real  se  determinan  mediante  los  polos  y  los  ceros  en  lazo  abierto  que  se encuentran  sobre  él.  Los  polos  y  los  ceros  complejos  conjugados  de  la  función  de  transferencia en  lazo  abierto  no  afectan  la  ubicación  de  los  lugares  geométricos  de  las  raíces  sobre  el  eje  real, porque  la  contribución  del  ángulo  de  un  par  de  polos  o  ceros  complejos  conjugados  es  360”  sobre  el  eje  real.  Cada  parte  del  lugar  geométrico  de  las  raíces  sobre  el  eje  real  se  extiende  sobre un  rango  de  un  polo  o  cero  a  otro  polo  o  cero.  Al  construir  los  lugares  geométricos  sobre  el  eje real,  seleccione  un  punto  en  éste.  Si  la  cantidad  total  de  polos  y  ceros  reales  a  la  derecha  de  este punto  de  prueba  es  impar,  este  punto  se  encuentra  en  el  lugar  geométrico  de  las  raíces  El  lugar geométrico  de  las raíces  y  su  forma  complementaria  alternan  segmentos  a  lo  largo  del  eje  real.

3. Determine  las  asíntotas  de  los  lugares  geométricos de  las  raíces. Si  el  punto  de  prueba  s se  ubica  lejos  del  origen,  se  considera  que  no  cambia  el  ángulo  de  cada  cantidad  compleja.

Entonces,  un  cero  en  lazo  abierto  y  un  polo  en  lazo  abierto  cancelan  los  efectos  del  otro. Por  tanto,  los  lugares  geométricos  de  las  raíces  para  valores  de   muy  grandes  deben  ser  asintóticos  para  líneas  rectas  cuyos  ángulos  (pendientes)  se  obtengan  mediante

Aquí,k =  0  corresponde  a  las  asíntotas  con  el  ángulo  más  pequeño  con  respecto  al  eje  real.

Aunque k supone  una  cantidad  infinita  de  valores,  conforme  aumenta,  el  ángulo  se  repite a  sí  mismo  y  la  cantidad  de  asíntotas  distintas  es n-m.

Todas  las  asíntotas  intersecan  el  eje  real  en  un  punto  que  se  obtiene  del  modo  siguiente:  si  se expanden el  numerador  y  el  denominador  de  la  función  de  transferencia  en  lazo abierto,  el  resultado  es

Si  un  punto  de  prueba  se  localiza  muy  lejos  del  origen,  entonces,  dividiendo  el  denominador entre  el  numerador,  podemos  escribir G(s)H(s)  como

Dado  que  la  ecuación  característica  es G(s)H(s)  = - 1     puede  escribirse  como

4. Encuentre los puntos de desprendimiento y de ingreso. Debido  a  la  simetría  conju-gada  de  los lugares  geométricos  de  las  raíces,  los  puntos  de  desprendimiento  y  de  ingreso  se  encuentran  sobre  el  eje  real  o  bien  ocurren  en  pares  complejos  conjugados.

Si  un  lugar  geométrico  de  las  raíces  se  ubica  entre  dos  polos  en  lazo  abierto  adyacentes sobre el eje real, existe al menos un punto de desprendimiento entre dichos dos polos.

Asimismo,  si  el  lugar  geométrico  de  las  raíces  está  entre  dos  ceros  adyacentes  (un  cero puede  ubicarse  en  -∞) sobre  el  eje  real,  siempre  existe  al  menos  un  punto  de  ingreso  en-tre  los  dos  ceros.  Si  el  lugar  geométrico  de  las  raíces  se  ubica  entre  un  polo  en  lazo  abierto y  un  cero  (finito  o  no  finito)  sobre  el  eje  real,  pueden  no  existir  puntos  de  desprendimiento o  de  ingreso,  o  bien  pueden  existir  ambos. Suponga  que  la  ecuación  característica  se  obtiene  mediante  

 B(s) + KA(s)  =  0

Los  puntos  de  desprendimiento  y  los  puntos  de  ingreso  corresponden  a  las  raíces  múltiples de  la  ecuación  característica. Por  tanto,  los  puntos  de  desprendimiento  y  de  ingreso  se  de-terminan  a  partir  de  las  raíces  de

en  donde  la  prima  indica  una  diferenciación  con  respecto  a  s.  Es  importante  señalar  que  los puntos  de  desprendimiento  y  los  puntos  de  ingreso  deben  ser  las  raíces  de  la  ecuación anterior aunque  no  todas  las  raíces  de  la  ecuación  son  puntos  de  desprendimiento  o  de  ingreso real. Si una  raiz  real de la ecuación se encuentra en la parte del eje real del lugar geométrico  de  las  raíces,  es  un  punto  de  desprendimiento  o  de  ingreso  real.  Si  una  raíz  real  de  la ecuación no  está  en  la  parte  del  eje  real  del  lugar  geométrico,  esta  raiz  no  corresponde a u punto  de  desprendimiento  ni  a  un  punto  de  ingreso.

Si  dos  raíces   s = s₁   y   s = -s₁   de  la ecuación son  un  par  complejo  conjugado,  y  si  no  es  seguro  que  están  en  los  lugares geométricos  de  las  raíces,  es  necesario  verificar  el  valor  de K correspondiente.  Si  el  valor  de K que  corresponde  a  la  raíz  s = s₁ de  dK/ds =  0  es  positivo,  el punto  s = s₁ es  un  punto  de  des-prendimiento  o  de  ingreso  real.  (Dado  que  se  supone  que K es  no  negativo,  si  es  negativo  el valor  obtenido  de K, el  punto   s =  s₁    no  es  de  desprendimiento  ni  de  ingreso.)

5. Determine  el  ángulo  de  salida  (ángulo  de  llegada)  de un lugar  geométrico  de  las  raíces a  partir  de  un polo complejo  (un  cero  complejo). Para  trazar  los  lugares  geométricos  de  las  raíces  con  una precisión  razonable,  debemos  encontrar  las  direcciones  de  los  lugares  geométricos  de  las  raíces  cercanas a  los  polos y  ceros  complejos.  Si  se  selecciona  un  punto  de prueba  y  se  mueve  en  la  cercanía  precisa  del  polo  complejo  (o  del  cero  complejo),  se  considera  que  no  cambia  la  suma  de  las  contribuciones  angulares  de  todos  los  otros  polos  y ceros.  Por  tanto,  el  ángulo  de  llegada  (o  ángulo  de  salida)  del  lugar  geométrico  de  las  raíces de  un  polo  complejo  (o  de  un  cero  complejo),  se  encuentra  restando  a  180⁰  la suma  de  to-dos  los  ángulos  de  vectores,  desde  todos  los  otros polos  y  ceros  hasta  el  polo  complejo  (o cero  complejo)  en cuestión, incluyendo  los  signos  apropiados. 

Ángulo  de  salida  desde  un  polo  complejo  =  180”

- (suma  de  los  ángulos  de  vectores  hacia  el  polo  complejo  en  cuestión  desde  otros  polos).

+  (suma  de  los  ángulos  de  vectores  hacia  el  polo  complejo  en  cuestión  desde  los  ceros).

Ángulo  de  llegada  a  un  cero  complejo  =  180”

- (suma  de  los  ángulos  de  vectores  hacia  el  cero  complejo  en  cuestión  desde  otro  cero).

+  (suma  de  los  ángulos  de  vectores  hacia  el  cero  complejo  en  cuestión  desde  los  polos).

6. Encuentre  los  puntos  en  los  que  los  lugares geométricos de  las  raíces  cruzan  el  eje  imaginario. Los  puntos  en  donde  los  lugares  geométricos  de  las raíces  intersecan  el  eje  jω  se  encuentran  con  facilidad  por  medio  de:  (a)  el  criterio  de  estabilidad  de  Routh,  o  (b)  suponiendo que  s =  jo  en  la  ecuación  característica,  igualando  con  cero  la  parte  real  y  la  parte  imaginaria  y  despejando   y K. En  este  caso,  los  valores  encontrados  de ω  representan  las  frecuencias  en  las  cuales  los  lugares  geométricos  de  las raíces cruzan  el  eje  imaginario.  El  valor de K que  corresponde  a  cada  frecuencia  de  cruce  produce la  ganancia  en  el  punto  de  cruce.

7. Tomando  una  serie  de  puntos  de  prueba  en  la  vecindad  amplia  del  origen del plano s, trace  los  lugares  geométricos. Determine  los  lugares  geométricos  de  las  raíces  en la  vecindad  amplia  del  eje ω  y  el  origen.  La  parte  más  importante  de  los  lugares  geométricos  de  las raíces  no  está  sobre  el  eje  real  ni  en  las  asíntotas,  sino  en  la  parte  de  la  vecindad  amplia  del eje jo y el origen. La forma de los lugares geométricos de las raíces en esta región impor-tante del plano   debe obtenerse con suficiente precisión.

8. Determine los polos en lazo cerrado. Un punto específico de cada ramificación del lugar geométrico de las raíces será un polo en lazo cerrado si el valor de K en dicho punto satisface la condición de magnitud. Por otra parte, la condición de magnitud nos permite determinar el valor de la ganancia en K en cualquier ubicación de las raíces específica sobre el lugar geométrico. (Si es necesario, se establece una graduación de los lugares geométricos en términos de K.Los lugares geométricos de las raíces son continuos con K.)

El  valor  de Kque  corresponde  a  cualquier  punto s sobre  el  lugar  geométrico  de  las raíces se obtiene a partir de la condición de magnitud, o bien

Este valor puede calcularse en forma gráfica o analítica. Si en este problema se da la ganancia K de la función de transferencia en lazo abierto, entonces, aplicando la condición de magnitud encontramos las ubicaciones correctas de los polos en lazo cerrado para un K determinado de cada ramificación de los lugares geométricos de las raíces, mediante un enfoque de prueba y error o mediante MATLAB. 

Comentarios  acerca  de  las  gráficas  del  lugar  geométrico  de  las  raíces. Se ob-serva  que  la  ecuación  característica  del  sistema  cuya  función  de  transferencia  en  lazo abierto es

es una ecuación algebraica en  de n-ésimo grado. Si el orden del numerador de G(s)H(s) es menor  que  el  del denominador, en dos  o  más  (lo  que  significa  que  hay  dos  o  más  ceros  en  infinito), el  coeficiente a1 es  la  suma  negativa  de  las  raíces  de  la  ecuación  y  es  independiente  de K. En  este caso,  si  alguna  de  las  raíces  se  mueve  en  el  lugar  geométrico  de  las  raíces  hacia  la  izquierda,  con-forme K aumenta,  las  otras raíces deben  moverse  hacia  la  derecha  conforme  aumenta K. Esta  información  es  útil  para  encontrar  la  forma  general  de  los  lugares  geométricos  de  las  raíces.

También  se  observa  que  un  cambio  ligero  en  el  patrón  de  los  polos  y  ceros  provoca  cam-bios significativos en las gráficas del lugar geométrico de las raíces. La figura representa el hecho de que un cambio ligero en la ubicación de un cero o polo hará muy diferente la gráfica del lugar geométrico de las raíces.

Cancelación  de  los  polos  G(s)  con  los  ceros  de H(s). Es  importante  señalar  que si el denominador de G(s) y el numerador de H(s) contienen factores comunes, los polos y ceros en lazo abierto correspondientes se cancelarán unos a otros, lo cual reducirá el grado de la ecuación característica en uno o más. Por ejemplo, considere el sistema de la figura  (Este sistema tiene una realimentación de velocidad.) Si se modifica el diagrama de bloques de la figura para obtener el de la figura se aprecia con claridad  que  G(s)  y H(s) tiene un factor  común s +  1.  La  función  de  transferencia  en  lazo  cerrado C(s)/R(s) es  

La ecuación característica es

Sin embargo, debido a la cancelación de los términos   + 1) que aparecen en G(s) y H(s), tenemos que

La  ecuación  característica  reducida  es

La gráfica del lugar geométrico de las raíces de G(s)H(s) no muestra todas las raíces de la ecuación característica; sólo las raíces de la ecuación reducida. 

Para obtener el conjunto completo de polos en lazo cerrado, debemos agregar el polo cancelado de G(s)H(s) para los polos en lazo cerrado obtenidos en la gráfica del lugar geométrico de  las  raíces  de G(s)H(s). No  debe  olvidarse  que  el  polo  cancelado  de G(s)H(s) es un  polo  en  lazo  cerrado  del  sistema,  como  se  observa  en  la  figura.

Tabla  Configuraciones de polos y ceros en lazo abierto y los  correspondientes  lugares  geométricos  de  las  raíces